Στο διεθνές συνέδριο μαθηματικών στην Μπολόνια το 1928, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ συμπεριέλαβε, μεταξύ των άλυτων προβλημάτων στο πεδίο έρευνας αναφορικά με τις βάσεις των μαθηματικών, το πρόβλημα της (σημασιολογικής) πληρότητας της λογικής της πρώτης τάξης και εκείνο της (συντακτικής) πληρότητας ενός τυπικού συστήματος για την αριθμητική, την καρδιά των μαθηματικών.

Ο Κουρτ Γκέντελ παραλαμβάνει οπό τον Άλμπερτ Αϊνστάιν το πρώτο βραβείο Αϊνστάιν για τις φυσικές επιστήμες, 1951.

Και τα δύο προβλήματα λύθηκαν -επιτυχώς για τη λογική της πρώτης τάξης (1930), όχι όμως για την αριθμητική (1931)- μέσα σε λίγα χρόνια από τον νεαρό Αυστριακό Κουρτ Γκέντελ, ο οποίος ομόφωνα θεωρείται ο πιο σημαντικός λογικολόγος του 20ού αιώνα.

Τον Ιανουάριο του 1931 εμφανίζεται στο «Monatshefte für Mathematik und Physik» ένα δοκίμιο με τίτλο Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme, στο οποίο ο Γκέντελ όχι μόνο αποδεικνύει ότι η αριθμητική είναι συντακτικά ανολοκλήρωτη, αλλά και ότι δεν μπορεί να ολοκληρωθεί.

Στις 7 Σεπτεμβρίου 1930 ο Γκέντελ είχε ήδη δημοσιεύσει αυτό το συμπέρασμα στο συνέδριο του Κένιγκσμπεργκ επί των βάσεων των μαθηματικών.

Ο Γκέντελ αρχίζει την έκθεσή του αναλύοντας τις αρχές των Μαθηματικών του Γουάιτχεντ και του Ράσελ, και την αξιωματική θεωρία των συνόλων των Ζερμελό-Φρένκελ.

Παρατηρεί ότι η τυποποίηση μάς επιτρέπει να αναπτύξουμε τις αποδείξεις ακολουθώντας λίγους μηχανικούς κανόνες (τα αξιώματα και οι συμπερασματικοί κανόνες του ίδιου του τυπικού συστήματος).

«Θα μπορούσαμε να υποθέσουμε», γράφει ο ίδιος ο Γκέντελ, «ότι αυτά τα αξιώματα και οι συμπερασματικοί κανόνες αρκούν για να αποφασίσουμε πάνω σε όλα τα μαθηματικά ερωτήματα που μπορούν να εκφραστούν με τύπους στο εσωτερικό των ίδιων των συστημάτων. Στην πραγματικότητα, θα αποδειχθεί ότι αυτό δεν ισχύει, αλλά ότι υπάρχουν προβλήματα σχετικώς απλά που δεν μπορούν να καθοριστούν από τα αξιώματα».

Με άλλα λόγια, αναφερόμενος στην τυπική θεωρία της αριθμητικής μετά αρχικά ΡΑ («αριθμητική του Peano», από το όνομα του Ιταλού μαθηματικού Τζουζέπε Πεάνο) και με το σύμβολο «|-» στη σχέση αποδειξιμότητας [ΡΑ |- Α, που σημαίνει ότι το Α αποδεικνύεται στο ΡΑ· ή γράφοντας ΡΑ |/- Α, που σημαίνει, δηλαδή, ότι το Α δεν αποδεικνύεται στο ΡΑ), το πρώτο θεώρημα της μη πληρότητας ισχυρίζεται: Αν ΡΑ είναι συνεχές, τότε δεν είναι ολοκληρωμένο, δηλαδή υπάρχει μία εκφορά G στη γλώσσα ΡΑ, ώστε ούτε ΡΑ |- G ούτε ΡΑ |-¬ G.

Με άλλα λόγια, υπάρχει μία εκφορά που δεν μπορεί να προσδιοριστεί τυπικά στο ΡΑ.

Από καθαρά φιλοσοφική άποψη, τα θεωρήματα της μη πληρότητας θέτουν υπό αμφισβήτηση την αποτελεσματικότητα της μεθόδευσης των μαθηματικών σε αξιωματική βάση: Όχι μόνο τα αρχικά αξιώματα της αριθμητικής δεν κατορθώνουν να συμπεριλάβουν όλες τις πληροφορίες που επιθυμητά θα έπρεπε να φέρουν, αλλά αυξάνοντας το σύνολο των αξιωμάτων, αυτή η ασυνέχεια μεταξύ αλήθειας και αποδειξιμότητας παραμένει αμετάβλητη.

Σύμφωνα με τον λογικολόγο Εμίλ Ποστ, η μη πληρότητα είναι η πιο εμφανής μαρτυρία της δημιουργικότητας της μαθηματικής σκέψης: «Αυτό το συμπέρασμα πρέπει αναμφίβολα να οδηγήσει σε μια ανατροπή, τουλάχιστον εν μέρει, όλου του αξιωματικού προσανατολισμού που παρατηρείται στα τέλη του 19ου αιώνα και τις αρχές του 20ού αιώνα, επιστρέφοντας στη σημασία και την αλήθεια ως εγγενή στοιχεία των μαθηματικών».

Το βέβαιο είναι ότι τα δύο θεωρήματα της μη πληρότητας ορίζουν τη διττή αποτυχία του θεμελιώδους σχεδίου του λογικισμού και του φορμαλισμού: Το πρώτο θεώρημα θέτει υπό αμφισβήτηση το λογικιστικό σχέδιο του Γκότλομπ Φρέγκε και έπειτα του Μπέρτραντ Ράσελ, οι οποίοι επιδιώκουν να εκφράσουν όλες τις μαθηματικές έννοιες με αμιγώς λογικούς όρους και, επομένως, να περιορίσουν τη μαθηματική αλήθεια στη λογική αλήθεια: πώς γίνεται η πρώτη να μπορεί να αναχθεί στη δεύτερη, αν υπάρχουν μαθηματικές αλήθειες (δηλαδή λογικές αλήθειες, σύμφωνα με τον λογικισμό) οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχθούν;

Το δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας συμπληρώνει ότι είναι ανέφικτο ακόμα και το πιο μελετημένο πρόγραμμα του Χίλμπερτ, το οποίο επιδιώκει να αποδείξει τη συνοχή της αριθμητικής στη βάση μεθόδων εξ ολοκλήρου «εσωτερικών» (αλγοριθμικών ή συνδυαστικών).